Aritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika, berasal dari bahasa Yunani αριθμός - arithmos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata "aritmetika" sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan. Silakan lihat angka untuk mengetahui lebih dalam tentang teori bilangan.
Sejarah
Prasejarah aritmetika terbatas pada sejumlah kecil artefak, yang dapat menunjukkan konsep penjumlahan dan pengurangan, yang paling terkenal adalah tulang Ishango dari Afrika Tengah, berasal dari suatu tempat antara 20.000 dan 18,000 SM, meskipun interpretasinya diperdebatkan.[1]
Catatan tertulis paling awal menunjukkan Mesir dan Babilonia menggunakan semua operasi aritmetika dasar sejak 2000 SM. Artefak ini tidak selalu mengungkapkan proses spesifik yang digunakan untuk memecahkan masalah, tetapi karakteristik sistem angka tertentu sangat mempengaruhi kompleksitas metode. Sistem hieroglif untuk angka Mesir, seperti kemudian angka Romawi, diturunkan dari tanda penghitungan yang digunakan untuk menghitung. Dalam kedua kasus, asal ini menghasilkan nilai yang menggunakan basis desimal, tetapi tidak menyertakan notasi posisi. Perhitungan kompleks dengan angka Romawi membutuhkan bantuan dari papan hitung (atau swipoa Romawi) untuk mendapatkan hasil.
Sistem bilangan awal yang menyertakan notasi posisi bukanlah desimal, termasuk sexagesimal (basis 60) sistem untuk angka Babilonia, dan sistem vigesimal (basis 20) yang menentukan angka Maya. Karena konsep nilai tempat ini, kemampuan untuk menggunakan kembali angka yang sama untuk nilai yang berbeda berkontribusi pada metode penghitungan yang lebih sederhana dan lebih efisien..
Perkembangan historis yang berkelanjutan dari aritmatika modern dimulai dengan peradaban Helenistik dari Yunani kuno, meskipun berasal lebih lama dari contoh Babilonia dan Mesir. Sebelum karya Euklides sekitar 300 SM, studi Yunani dalam matematika tumpang tindih dengan keyakinan filosofis dan mistik. Misalnya, Nicomachus meringkas sudut pandang dari pendekatan Pythagoras sebelumnya terhadap angka, dan hubungannya satu sama lain, dalam Pengantar Aritmetika.
Angka Yunani digunakan oleh Archimedes, Diophantus dan lainnya dalam notasi posisi yang tidak jauh berbeda dari notasi modern. Orang Yunani kuno tidak memiliki simbol nol sampai periode Helenistik, dan mereka menggunakan tiga set simbol terpisah sebagai digit: satu set untuk tempat satuan, satu untuk tempat puluhan, dan satu untuk ratusan. Untuk tempat ribuan, mereka akan menggunakan kembali simbol untuk tempat satuan, dan seterusnya. Algoritma penjumlahan mereka identik dengan metode modern, dan algoritma perkaliannya hanya sedikit berbeda. Algoritme pembagian panjangnya sama, dan algoritme akar kuadrat digit demi digit, populer digunakan baru-baru ini pada abad ke-20, dikenal oleh Archimedes (yang mungkin telah menemukannya). Dia lebih memilihnya daripada Metode Heron dari perkiraan berturut-turut karena, setelah dihitung, sebuah digit tidak berubah, dan akar kuadrat dari kuadrat sempurna, seperti 7485692. Untuk bilangan dengan bagian pecahan, seperti 546,934, mereka menggunakan pangkat negatif 60 bukan pangkat negatif 10 untuk bagian pecahan 0,934.[2]
Orang Cina kuno memiliki studi aritmatika lanjutan yang berasal dari Dinasti Shang dan berlanjut hingga Dinasti Tang, dari angka dasar hingga aljabar lanjutan. The orang Cina kuno menggunakan notasi posisi yang mirip dengan orang Yunani. Karena mereka juga kekurangan simbol untuk nol, mereka memiliki satu set simbol untuk tempat satuan, dan set kedua untuk puluhan. Untuk tempat ratusan, mereka kemudian menggunakan kembali simbol untuk tempat satuan, dan seterusnya. Simbol mereka didasarkan pada batang penghitung kuno. Waktu pasti di mana orang Tionghoa mulai menghitung dengan representasi posisi tidak diketahui, meskipun diketahui bahwa adopsi dimulai sebelum 400 SM.[3] Orang Cina kuno adalah orang pertama yang menemukan, memahami, dan menerapkan angka negatif secara bermakna. Ini dijelaskan di Sembilan Bab tentang Seni Matematika (Jiuzhang Suanshu), yang ditulis oleh Liu Hui berasal dari abad ke-2 SM.
Perkembangan bertahap dari sistem angka Hindu-Arab secara independen menciptakan konsep nilai tempat dan notasi posisi, yang menggabungkan metode sederhana untuk komputasi dengan basis desimal, dan penggunaan digit yang mewakili 0. Hal ini memungkinkan sistem untuk secara konsisten mewakili bilangan bulat besar dan kecil, sebuah pendekatan yang pada akhirnya menggantikan semua sistem lainnya. Di awal Abad ke-6 Masehi, matematikawan asal India Aryabhata memasukkan versi yang ada dari sistem ini dalam karyanya, dan bereksperimen dengan notasi yang berbeda. Pada abad ke-7, Brahmagupta menetapkan penggunaan 0 sebagai bilangan terpisah, dan menentukan hasil perkalian, pembagian, penambahan dan pengurangan nol dan semua bilangan lainnya — kecuali untuk hasil pembagian dengan nol. Sesamannya, uskup Siria Severus Sebokht (650 M) berkata, "Orang India memiliki metode perhitungan yang tidak dapat dipuji oleh satu kata pun. Sistem matematika rasional mereka, atau metode perhitungan mereka. Maksud saya sistemnya menggunakan sembilan simbol."[4] Orang Arab juga mempelajari metode baru ini dan menyebutnya hesab.
Meskipun Codex Vigilanus menggambarkan bentuk awal angka Arab (menghilangkan 0) pada 976 M, Leonardo dari Pisa (Fibonacci) bertanggung jawab terutama untuk menyebarkan penggunaannya ke seluruh Eropa setelah penerbitan bukunya Liber Abaci pada 1202. Dia menulis, "Metode orang India (Latin Modus Indoram) melampaui metode komputasi apa pun yang diketahui. Itu metode yang luar biasa. Mereka melakukan komputasi menggunakan sembilan angka dan simbol nol".[5]
Pada Abad Pertengahan, aritmatika adalah salah satu dari tujuh seni liberal yang diajarkan di universitas.
Berkembangnya aljabar di dunia abad pertengahan Islam, dan juga di Renaisans Eropa, adalah hasil dari penyederhanaan komputasi melalui desimal bukan.
Berbagai jenis alat telah ditemukan dan digunakan secara luas untuk membantu dalam perhitungan numerik. Sebelum Renaisans, mereka adalah berbagai jenis abaci. Contoh yang lebih baru termasuk aturan geser s, nomogram dan kalkulator mekanis, seperti kalkulator Pascal. Saat ini, mereka telah digantikan oleh kalkulator dan komputer elektronik.
Operasi aritmetika
Operasi aritmatika dasar adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, meskipun mata pelajaran ini juga mencakup operasi yang lebih maju, seperti manipulasi persentase,[6] akar kuadrat s, eksponen, fungsi logaritmik, dan bahkan fungsi trigonometri, dalam nada yang sama seperti logaritma (prosthaphaeresis). Ekspresi aritmatika harus dievaluasi sesuai dengan urutan operasi yang dimaksudkan. Ada beberapa metode untuk menentukan ini, baik yang paling umum, bersama dengan notasi infix, secara eksplisit menggunakan tanda kurung dan bergantung pada Urutan operasi aturan prioritas, atau menggunakan notasi awalan atau postfix, yang secara unik memperbaiki urutan eksekusi sendiri. Kumpulan objek apa pun di mana keempat operasi aritmatika (kecuali pembagian dengan nol) dapat dilakukan, dan di mana keempat operasi ini mematuhi hukum biasa (termasuk distribusi), disebut bidang.[7]
Penambahan
Penjumlahan, dilambangkan dengan simbol , adalah operasi aritmatika yang paling dasar. Dalam bentuk sederhananya, penjumlahan menggabungkan dua angka, penjumlahan atau suku, menjadi satu angka, jumlah dari angka-angka tersebut (seperti 2 + 2 = 4 atau 3 + 5 = 8).
Menambahkan banyak angka secara tak terbatas dapat dipandang sebagai penjumlahan sederhana yang berulang; prosedur ini dikenal sebagai penjumlahan, istilah yang juga digunakan untuk menunjukkan definisi untuk "menambahkan bilangan tak terhingga" dalam deret tak hingga. Penambahan berulang dari angka 1 adalah bentuk paling dasar dari menghitung; hasil penambahan 1 biasanya disebut penerus dari bilangan asli.
Penjumlahan adalah komutatif dan asosiatif, jadi urutan penambahan banyak suku tidak menjadi masalah. Elemen identitas untuk operasi biner adalah angka yang, jika digabungkan dengan angka apa pun, menghasilkan angka yang sama dengan hasil. Menurut aturan penambahan, penambahan 0 ke nomor manapun menghasilkan nomor yang sama, jadi 0 adalah identitas aditif.[8] The invers dari sebuah bilangan sehubungan dengan sebuah operasi biner adalah bilangan yang, jika digabungkan dengan bilangan apa pun, menghasilkan identitas sehubungan dengan operasi ini. Jadi, kebalikan dari bilangan sehubungan dengan penjumlahan (pembalikan aditif, atau bilangan kebalikannya) adalah bilangan yang menghasilkan identitas penjumlahan, 0, ketika ditambahkan ke nomor asli; terlihat jelas bahwa untuk semua bilangan , ini adalah negatif dari (dilambangkan ).[8] Misalnya, aditif invers 7 adalah −7, maka 7 + (−7) = 0.
Penambahan juga dapat diartikan secara geometris, seperti pada contoh berikut:
- Jika kita memiliki dua batang dengan panjang 2 dan 5 , maka, jika kita menempatkan tongkat satu per satu, panjang tongkat menjadi 7 , karena 2 + 5 = 7.
Pengurangan
Pengurangan, dilambangkan dengan simbol , adalah operasi kebalikan dari penjumlahan. Pengurangan menemukan perbedaan antara dua angka, minuend dikurangi subtrahend : D = M − S. Menggunakan penambahan yang telah ditetapkan sebelumnya, ini berarti bahwa perbedaannya adalah angka yang, ketika ditambahkan ke subtrahend, menghasilkan minuend: D + S = M.[9]
Untuk argumen positif M dan S berlaku:
- Jika minuend lebih besar dari subtrahend, perbedaan D positif.
- Jika minuend lebih kecil dari subtrahend, perbedaan D adalah negatif.
Bagaimanapun, jika minuend dan subtrahend sama, selisihnya D = 0.
Pengurangan bukan komutatif atau asosiatif. Oleh karena itu, konstruksi operasi inversi dalam aljabar modern sering kali diabaikan demi pengenalan konsep elemen invers (seperti yang digambarkan di bawah). § Penambahan), di mana pengurangan dianggap menambahkan invers penjumlahan dari pengurang ke minuend, yaitu, a − b = a + (−b). Harga langsung untuk membuang operasi pengurangan biner adalah pengenalan dari (trivial) operasi unary, memberikan invers penjumlahan untuk bilangan tertentu, dan kehilangan akses langsung ke gagasan perbedaan, yang berpotensi menyesatkan ketika argumen negatif terlibat.
Untuk representasi bilangan apa pun, ada metode untuk menghitung hasil, beberapa di antaranya sangat menguntungkan dalam prosedur pemanfaatan, yang ada untuk satu operasi, dengan perubahan kecil juga. Misalnya, komputer digital dapat menggunakan kembali sirkuit tambahan yang ada dan menyimpan sirkuit tambahan untuk menerapkan pengurangan, dengan menggunakan metode komplemen dua untuk mewakili invers aditif, yang sangat mudah diterapkan di perangkat keras (negasi). Pengorbanannya adalah membagi separuh rentang angka untuk panjang kata yang tetap.
Metode yang sebelumnya tersebar luas untuk mencapai jumlah perubahan yang benar, mengetahui jumlah yang jatuh tempo dan jumlah yang diberikan, adalah metode penghitungan , yang tidak secara eksplisit menghasilkan nilai perbedaan. Misalkan sejumlah P diberikan untuk membayar jumlah yang dibutuhkan Q , dengan P lebih besar dari Q . Daripada melakukan pengurangan secara eksplisit P − Q = C dan menghitung jumlah C dalam kembalian, uang dihitung dimulai dengan penerus Q , dan dilanjutkan dengan langkah mata uang, sampai P tercapai. Meskipun jumlah yang dihitung harus sama dengan hasil pengurangan P - Q , pengurangan tidak pernah benar-benar dilakukan dan nilai P - Q tidak diberikan oleh ini metode.
Perkalian
Perkalian, dilambangkan dengan simbol atau ,[8] adalah operasi dasar kedua dari aritmatika. Perkalian juga menggabungkan dua angka menjadi satu angka, hasil kali . Dua angka asli disebut pengganda dan perkalian , kebanyakan keduanya disebut faktor .
Perkalian dapat dilihat sebagai operasi penskalaan. Jika angka-angka tersebut dibayangkan berada dalam satu garis, perkalian dengan angka yang lebih besar dari 1, katakan x , sama dengan merentangkan semuanya dari 0 secara seragam, sedemikian rupa sehingga angka 1 itu sendiri direntangkan ke tempat x sebelumnya. Demikian pula, mengalikan dengan angka kurang dari 1 dapat dibayangkan sebagai meremas ke arah 0, sedemikian rupa sehingga 1.
Pandangan lain tentang perkalian bilangan bulat (dapat diperpanjang ke rasio tetapi tidak dapat diakses untuk bilangan real) adalah dengan menganggapnya sebagai penjumlahan berulang. Sebagai contoh. 3 × 4 sesuai dengan penambahan 3 kali 4, atau 4 kali 3, memberikan hasil yang sama. Ada beberapa pendapat berbeda tentang keuntungan paradigmata ini dalam pendidikan matematika.
Perkalian bersifat komutatif dan asosiatif; selanjutnya, distributif melebihi penjumlahan dan pengurangan. Identitas perkalian adalah 1,[8] karena mengalikan angka apa pun dengan 1 menghasilkan angka yang sama. Pembalikan perkalian untuk bilangan apa pun kecuali 0 adalah kebalikan dari bilangan ini, karena mengalikan kebalikan dari bilangan apa pun dengan bilangan itu sendiri menghasilkan identitas perkalian 1. 0 Adalah satu-satunya bilangan tanpa pembalikan perkalian, dan hasil dari mengalikan bilangan apa pun dan 0 adalah lagi 0. One says that 0 is tidak terkandung dalam perkalian kelompok dari bilangan tersebut.
Pembagian
Divisi, dilambangkan dengan simbol or ,[8] pada dasarnya adalah operasi kebalikan dari perkalian. Pembagian menemukan hasil bagi dari dua angka, pembilang dibagi dengan pembagi . Setiap dividen dibagi dengan nol tidak ditentukan. Untuk bilangan positif berbeda, jika pembagi lebih besar dari pembagi, hasil bagi lebih besar dari 1, jika tidak, kurang dari 1 (aturan serupa berlaku untuk angka negatif). Hasil bagi dikalikan dengan pembagi selalu menghasilkan dividen.
Pembagian tidak bersifat komutatif atau asosiatif. Demikian seperti yang dijelaskan di § Pengurangan, konstruksi pembagian dalam aljabar modern dibuang demi membangun elemen invers sehubungan dengan perkalian, seperti yang diperkenalkan di § Perkalian. Oleh karena itu, pembagian adalah perkalian dividen dengan kebalikan dari pembagi sebagai faktor, yaitu, a ÷ b = a × 1b.
Di dalam bilangan asli, ada juga gagasan berbeda namun terkait yang disebut Pembagian euklidean, yang mengeluarkan dua bilangan setelah "membagi" N (pembilang) alami dengan C): pertama natural Q (hasil bagi), dan kedua natural R (sisa) sehingga N = D×Q + R dan 0 ≤ R < Q.
Teorema dasar aritmetika
Teorema dasar aritmatikamenyatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1 memiliki faktorisasi prima unik (representasi bilangan sebagai hasil kali faktor prima), tidak termasuk urutan faktor. Misalnya, 252 hanya memiliki satu faktorisasi prima:
- 252 = 22 × 32 × 71
Elemen Euklides pertama kali memperkenalkan teorema ini, dan memberikan bukti parsial (yang disebut lemma Euklides). Teorema dasar aritmatika pertama kali dibuktikan oleh Carl Friedrich Gauss.
Teori bilangan
Sampai abad ke-19, teori bilangan adalah sinonim dari "aritmatika". Masalah yang ditangani secara langsung terkait dengan operasi dasar dan terkait primality, terbagi, dan solusi persamaan dalam bilangan bulat, seperti teorema terakhir Fermat. Tampaknya sebagian besar masalah ini, meskipun sangat mendasar untuk dinyatakan, sangat sulit dan mungkin tidak dapat diselesaikan tanpa matematika yang sangat mendalam yang melibatkan konsep dan metode dari banyak cabang lain. Hal ini menyebabkan cabang baru dari teori bilangan seperti teori bilangan analitik, teori bilangan aljabar, geometri diofantin dan geometri aljabar aritmatika. Bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat adalah contoh khas perlunya metode canggih, yang jauh melampaui metode aritmatika klasik, untuk memecahkan masalah yang dapat dinyatakan dalam aritmatika dasar.
