Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar
Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerak rotasi. Bumi berotasi pada sumbunya untuk bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit yang bentuknya elips. Demikian juga Bulan yang berotasi pada sumbunya untuk bergerak mengelilingi Bumi.
Mobil yang bergerak mengelilingi suatu sudut juga bergerak dalam busur melingkar. Kajian tentang gerak melingkar telah Anda pelajari di Bab 1. Dalam subbab ini, akan dibahas gerak benda yang berotasi pada sumbunya yang ditinjau secara umum menggunakan fungsi turunan dan integral.
1. Posisi Sudut dan Perpindahan Sudut
Anda telah mempelajari bahwa posisi sudut suatu partikel yang bergerak melingkar dinyatakan sebagai θ dengan satuannya dalam radian atau derajat. Apabila partikel tersebut berpindah, perpindahannya disebut perpindahan sudut.
Perhatikanlah Gambar 6.1 berikut. Gambar tersebut menunjukkan sebuah partikel yang bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran berjari-jari R. Partikel tersebut berpindah dari titik P ke titik Q dengan jarak perpindahan linear Δs = sQ – sP dan perpindahan sudut Δ θ = θ Q – θ P. Oleh karena itu, dapat dinyatakan hubungan sebagai berikut.
2. Kecepatan Sudut
Berdasarkan definisi kecepatan, kecepatan sudut adalah perubahan posisi sudut partikel per satuan waktu. Kecepatan sudut juga terbagi atas dua, yaitu kecepatan sudut rata-rata dan kecepatan sudut sesaat. Analisa kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan integral dan turunan akan dibahas pada bagian berikut.
a. Kecepatan Sudut Rata-Rata
Perpindahan sudut yang dilakukan oleh partikel yang bergerak melingkar merupakan fungsi waktu. Dengan demikian, dapat dituliskan θ = θ (t). Perhatikanlah Gambar 6.2. Posisi sudut benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai θ. Kemudian, partikel tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δ θ sehingga pada saat t + Δt, partikel berada di titik Q dengan posisi sudut θ + Δ θ. Perpindahan sudut partikel tersebut adalah
Apabila perpindahan sudut partikel tersebut dibuat grafik hubungan antara posisi sudut ( θ ) terhadap waktu (t), seperti Gambar 6.3, Anda dapat melihat bahwa kecepatan sudut rata-rata dinyatakan sebagai perubahan posisi selama selang waktu tertentu.
b. Kecepatan Sudut Sesaat
Perhatikanlah grafik posisi sudut terhadap waktu pada Gambar 6.5.
Apabila selang waktu perpindahan partikel yang bergerak melingkar menuju nol, kemiringan garis yang menyatakan kecepatan sudut rata-rata partikel akan semakin curam. Dengan demikian, kecepatan sudut sesaat dapat didefinisikan sebagai.
dengan kalimat lain dapat dinyatkan bahwa ω merupakan turunan pertama dari fungsi posisi sudut terhadap waktu. Satuan kecepatan sudut sesaat dinyatakan dalam radian/sekon.
3. Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut
Fungsi posisi sudut dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan persamaan sudut sebagai fungsi waktu. Cara ini sama dengan cara menentukan posisi suatu benda dari pengintegralan fungsi kecepatan benda yanag telah dibahas pada subbab A. Dari Persamaan (6-4) Anda telah mengetahui bahwa
Apabila persamaan tersebut diintegralkan, akan dapat dituliskan persamaan integral sebagai berikut
4. Percepatan Sudut
Analogi dengan percepatan pada gerak linear, definisi percepatan sudut pada gerak melingkar adalah perubahan kecepatan sudut per satuan waktu. Pembahasan mengenai percepatan sudut juga terbagi atas dua, yaitu percepatan sudut rata-rata dan percepatan sudut sesaat.
a. Percepatan Sudut Rata-Rata
Kecepatan sudut pada saat t adalah sebesar ω dan pada saat t + Δt adalah sebesar ω + Δω. Percepatan sudut rata-rata partikel tersebut dapat dinyatakan sebagai
b. Percepatan Sudut Sesaat
Percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai limit percepatan sudut rata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil atau Δt menuju nol. Secara matematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut.
5. Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut
Berdasarkan Persamaan (6-7), Anda telah mengetahui bahwa percepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut. Oleh karena itu, apabila persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu suatu partikel diintegralkan, akan diperoleh persamaan kecepatan sudutnya.
6. Gerak Melingkar Beraturan dan Gerak Melingkar Berubah Beraturan
Pada gerak melingkar beraturan, kecepatan sudut partikel tetap atau tidak bergantung pada waktu. Oleh karena itu, dari Persamaan (6-4) didapatkan persamaan gerak melingkar beraturan sebagai berikut.
Apabila setiap ruas diintegralkan, dapat dituliskan
Pada gerak melingkar berubah beraturan, kecepatan sudut partikel berubah terhadap waktu ( ω merupakan fungsi waktu) dan partikel bergerak melingkar dengan percepatan sudut, α , konstan. Oleh karena itu, dari Persamaan (6-7) didapatkan persamaan gerak melingkar berubah beraturan sebagai berikut.
Dari Persamaan (6–11) juga dapat diketahui bahwa
Oleh karena itu jika Persamaan (6–14) disubstitusikan ke Persamaan (6–13) akan diperoleh
7. Analogi Gerak Translasi dan Gerak Rotasi
Gerak rotasi dan gerak translasi (persamaan gerak) memiliki banyak persamaan. Besaran gerak translasi memiliki hubungan dengan gerak rotasi. Hubungan tersebut menghasilkan bentuk rumus gerak rotasi yang bisa dianalogikan dengan gerak translasi, seperti terlihat pada Tabel 6.1 berikut.
8. Percepatan Linear dan Percepatan Sudut
Perhatikan Gambar 6.7 berikut.
Titik P mengalami percepatan linear (a) yang terdiri atas percepatan tangensial (at) dan percepatan sentripetal (as), serta percepatan sudut ( α ). Percepatan tangensial adalah komponen percepatan menurut arah garis singgung.
Percepatan sentripetal terjadi akibat perubahan arah vektor kecepatan dan arah percepatan sentripetal yang arahnya tegak lurus vektor kecepatan (menuju pusat lingkaran). Hubungan antara besaran-besaran tersebut adalah sebagai berikut.
