Gerak dalam Dua Dimensi
1. Vektor Posisi
Anda telah mempelajari bahwa besaran dalam Fisika digolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Bandingkanlah kedua pernyataan berikut. Mobil Ali bergerak dengan kecepatan 60 km/jam ke utara. Mobil Budi bergerak dengan kelajuan 60 km/jam. Manakah dari dua pernyataan tersebut yang merupakan besaran vektor? Kecepatan memiliki besar dan arah sehingga disebut sebagai besaran vektor, sedangkan kelajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebut sebagai besaran skalar.
Apabila benda dianggap sebagai benda titik, atau partikel, posisi benda tersebut pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan vektor posisi r, yaitu sebuah vektor yang ditarik dari titik asal sampai ke posisi titik tersebut berada. Vektor posisi r suatu partikel pada bidang xy dapat dinyatakan sebagai berikut.
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah Gambar 1.3 berikut.
Posisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, atau pada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai berikut.
2. Perpindahan
Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam waktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut lintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 1.4.
Apabila posisi titik P dinyatakan sebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yang terjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δ r, yaitu
Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa perpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisi awal.
Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh partikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau mengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1, partikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikel berada di titik Q dengan vektor posisinya rQ. Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj) dan rQ = (xQi + yQj), Persamaan (1–2) dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi + yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j. Apabila xQ – xP = Δx dan yQ – yP = Δy, serta perpindahan yang dilakukan partikel rPQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi
Oleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δr maka dapat dituliskan
Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Perhatikanlah Gambar 1.5 berikut.
Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai
3. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
a. Kecepatan Rata-Rata
Perhatikanlah Gambar 1.6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr.
Berdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi benda adalah sebagai berikut.
Perhatikanlah Gambar 1.7. Gambar tersebut menunjukkan grafik perpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.
b. Kecepatan Sesaat
Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkat atau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut.
Perhatikanlah Gambar 1.8 berikut.
Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabila selang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P, yaitu turunan posisi terhadap waktu.
Pada Gambar 1.8, kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskan sebagai berikut.
Perhatikanlah Gambar 1.9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda di titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebut terhadap sumbu-x dinyatakan dengan
4. Menetukan Posisi dari Fungsi Kecepatan
Fungsi posisi suatu benda, yaitu koordinat benda (x, y) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan persamaan kecepatan benda sebagai fungsi waktu.
Dalam arah sumbu-x, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.
Posisi x ditentukan dengan
Dalam arah sumbu-y, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.
Posisi y ditentukan dengan
(x0, y0) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y) menyatakan koordinat posisi benda setelah bergerak dalam selang waktu t. Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda dapat dituliskan sebagai berikut
Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Dengan demikian, posisi benda dapat ditentukan dengan metode grafik sebagai berikut. Apabila kecepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaan vx = 2t + 5, posisi benda adalah
Misalkan, batas integral adalah dari t = 0 sampai dengan t = 2. Dengan memasukkan nilai batas integral, didapatkan perpindahan benda adalah
Cara lain untuk menentukan perpindahan benda adalah dengan meng- hitung luas daerah di bawah kurva v(t).
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan benda sama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi waktu v(t). Secara matematis dituliskan sebagai berikut.
5. Percepatan Rata-Rata dan Percepatan Sesaat
Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Perubahan kecepatan per satuan waktu yang bernilai positif disebut percepatan, sedangkan yang bernilai negatif disebut perlambatan. Sebagaimana halnya dengan kecepatan, pembahasan percepatan juga terbagi atas dua, yaitu percepatan rata- rata dan percepatan sesaat.
Apabila pada saat t kecepatan benda adalah v dan pada saat t +Δt kecepatannya v + Δv, percepatan rata-rata benda tersebut dinyatakan sebagai berikut.
Kecepatan partikel secara grafik dapat ditentukan sebagai berikut.
Pada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi
dengan s0 merupakan jarak tempuh benda pada saat t = 0.
Dengan demikian, diperoleh persamaan sebagai berikut.
a. Percepatan Rata-Rata
Perhatikanlah Gambar 1.12. Grafik kecepatan terhadap waktu pada gambar tersebut menyatakan gerak benda yang berpindah dengan kecepatan tertentu setiap saatnya.
Apabila pada saat t kecepatan benda adalah v dan pada saat t +Δt kecepatannya v + Δv, percepatan rata-rata benda tersebut dinyatakan sebagai berikut.
Penulisan Persamaan (1–19) dalam bentuk vektor dalam arah sumbu-x dan sumbu-y adalah sebagai berikut.
b. Percepatan Sesaat
Percepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang sangat kecil atau mendekati nol. Secara matematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut.
Apabila vektornya disesuaikan menurut arah sumbu-x dan sumbu-y, Persamaan (1–24) berubah menjadi
6. Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan
Fungsi kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral, yaitu
Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Metode yang digunakan untuk memeroleh nilai kecepatan dari fungsi percepatan dapat dilakukan dengan analogi pada cara untuk mendapatkan nilai perpindahan dari fungsi kecepatan. Perhatikan Gambar 1.13.
Kecepatan partikel secara grafik dapat ditentukan sebagai berikut.
Besar kecepatan = luas daerah di bawah kurva a (t)
7. Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Beraturan
Anda telah mengenal dan mempelajari dua jenis gerak lurus, yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Pada gerak lurus beraturan, kecepatan gerak benda tetap dan percepatan benda sama dengan nol. Persamaan geraknya diperoleh melalui persamaan
Pada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi
Dengan demikian, dapat dituliskan persamaan
dengan s0 merupakan jarak tempuh benda pada saat t = 0.
Pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB), benda bergerak dengan percepatan tetap. Persamaan geraknya diperoleh melalui
Pada GLBB, nilai a tetap dan tidak bergantung waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi
Apabila Persamaan (1–29) diintegralkan, akan diperoleh jarak tempuh benda, yaitu
